УДК 004.925.83

3-D МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ ПОМОЩИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Тарасова Т.С.

^*ttsday@rambler.ru

СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург

Научный руководитель, профессор, д.т.н., Дегтярев Владимир Михайлович,
degtyrev@sut.ru, Санкт-ПетербургСПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург

Введение

На сегодняшний день наиболее широко используемыми методами моделирования являются моделирование при помощи полигонов и NURBS. Моделирование при помощи алгебраических поверхностей является альтернативным и малоиспользуемым методом моделирования. Недостаточная изученность – лишь одна из тому причин. Это так же уже сложившаяся обстановка в мире 3-D моделирования, где инженеры привыкли использовать определенные методы моделирования. Положительными чертами аналитической модели являются лёгкая процедура расчёта координат каждой точки поверхности и нормали, небольшой объем информации для описания сложных форм. Моделирование при помощи алгебраических поверхностей дает такие преимущества, как гладкость, непрерывность, дифференцируемость, которые могут быть более важны при выборе метода проектирования, чем преимущества других моделей. Преимущества алгебраических моделей могут быть важны в таких сферах, где на первый план выходят перечисленные выше преимущества.

Структура алгебраической модели

В данной статье под алгебраическими поверхностями имеются в виду полиномы n-ой степени от трех переменных x, y, z. Например, всем известная форма шар: -10²-10y²-10z²+500=0

Именно этими поверхностями задается геометрия моделируемых объектов (см. рис. 1).

Автором введены и используются следующие понятия:

Алгебраический объект – это реальный объект, смоделированный при помощи алгебраических поверхностей.

Алгебраическая формирующая поверхность – это алгебраическая поверхность, формирующая часть алгебраического объекта. Так же встречается сокращенно как «формирующая поверхность». Формирующая поверхность может быть завершённым алгебраическим объектом (крыло бабочки см. рис. 1).

Алгебраическая ограничивающая поверхность – это алгебраическая поверхность, использующаяся для ограничения формирующей поверхности. Так же встречается сокращённое название «ограничивающая поверхность».

Каждый алгебраический объект состоит из одной или нескольких формирующих поверхностей и наборов ограничивающих поверхностей. Количество ограничивающих поверхностей для каждой формирующей неограниченно. Одна сторона формирующей поверхности может быть обрезана по некому диаметру, например, а другая – по прямой линии. Движение ограничивающей поверхности независимо от формирующей может изменять форму обрезания, т.к. эта форма есть не что иное, как линия пересечения поверхностей.

Несколько алгебраических объектов формируют сцену, в которую в дальнейшем могут входить и другие модели 3D объектов. При сохранении сцены в файл сохраняется вся информация по сцене: все объекты, источники света, координаты проецирующей поверхности и наблюдателя и т.д.

Все примеры алгебраических объектов получены при помощи программы написанной автором в Visual Studio 6.0 [1]. Таким образом, это непосредственная визуализация модели сформированной алгебраическими поверхностями методом трассировки лучей. В программе так же можно перемещать и вращать объекты, рассматривать их с разных сторон. [2; 3]

Принципы моделирования

На сегодняшний день недостаточное управление формой в моделировании при помощи алгебраических поверхностей является серьезным недостатком данного метода, это является полем для исследования и разработок. Исследованиями и разработками в области моделирования при помощи алгебраических поверхностей занимается научная школа под руководством доктора технических наук, профессора Дегтярева В.М. На сегодняшний день уже есть определенные результаты:

· исследованы и проанализированы различные представления полиномов в зависимости от нумерация коэффициентов [4 стр. 71]:

o степенной,

o лексикографический,

o степенной-лексикографический;

· выявлены преимущества и недостатки каждого метода [4 стр. 71];

· произведен анализ многих методов расчета корней полиномов n-ой степени [4 стр. 50; 6 стр. 39];

· произведен анализ известных поверхностей высших порядков [6 стр. 56];

· разработана классификация алгебраических поверхностей [5];

· разработаны методы классификации алгебраических поверхностей [6 стр. 75];

· алгоритм формирования алгебраических объектов из алгебраических поверхностей (алгоритм описанный в [4 стр. 108] дополнен автором данной статьи).

Данная информации важна для понимания концепции моделирования при помощи алгебраических поверхностей, для формирования, описания и визуализации алгебраических объектов. Иными словами, это <внутренности>, а для конечного пользователя на первое место встает вопрос <как всем этим пользоваться?>. Как уже говорилось выше, вопрос полного управления формой остается под вопросом.

Автором был предложен метод создания библиотек алгебраических поверхностей и их использование в моделировании при помощи алгебраических поверхностей. Иерархическая классификации поверхностей, отражающая математические свойства поверхностей, бывает далека от реального мира, поэтому было предложено и опробовано использование произвольной специализированной иерархии. Т.е. для инженера-аниматора это будет библиотека состоящая из моделей рук, ног, голов персонажей, для технического специалиста — модели заготовок деталей.

Для каждого объекта библиотеки может быть введена и запомнена возможная динамика изменения. Например, рука героя может двигаться только определенным образом, что достигается путем сохранения схемы изменения тех или иных коэффициентов уравнения, описывающего руку.

Использование библиотеки позволит инженерам сохранять в нее часто используемые смоделированные объекты или отдельные их части, тем самым постоянно пополнять ее. Использование объектов библиотеки дает мощный инструментарий для моделирования.

Однако это не решает проблему, т.к. вопросы моделирования отдельных объектов для библиотеки остается открытым: вопрос <лепки> как из пластилина, вопрос <какой коэффициент подкрутить, чтобы произошло нужное изменение формы> и т.д.

Автором рассмотрены и выделены следующие направления для исследования:

· исследование влияния изменения коэффициентов на форму поверхности;

· накопление знаний и их структуризация;

· сохранение накопленных и структурированных знаний для дальнейшего использования;

· использование накопленных знаний: выделение свойств поверхностей, изменение значений которых будет приводить к определенного рода изменениям;

· исследование возможности использование методов аппроксимации и интерполяции, теории приближенных функций.

В исследовании влияния изменения коэффициентов на форму поверхности использованы следующие методы классификации поверхностей:

— метод перебора значений уравнения (-1, 0, 1),

— метод объединения поверхностей,

— метод модификации коэффициентов.

Уже составлены первые таблицы влияния коэффициентов на форму, но нельзя забывать что коэффициенты находятся во взаимном влиянии друг на друга. Ниже приведённый пример иллюстрирует принцип модификации поверхности путем изменения коэффициентов уравнения.

фИсследование влияния изменения коэффициентов уравнения позволило автору разбить все коэффициенты на группы (см. таблицу 1), в зависимости от изменений, которым они могут быть причиной. Изменение коэффициентов одной группы обычно приводит к схожим изменениям, но направленным по разным осям. Общее число коэффициентов 35, для поверхностей четвёртого порядка, разделено на 11 групп. Использован степенной порядок нумерации коэффициентов. Разбиение на группы позволит легче ориентироваться в уравнении. Быстрота нахождения нужной группы, число которых гораздо меньше, чем число коэффициентов, так же облегчает поиск нужного коэффициента.

Например, уравнение x⁴+y⁴+z⁴+x³y+x³z+x²y+xy=1 будет записано так: 10=1 1 1 | 9=1 1 0 0 0 0 | 5=1 0 0 0 0 0 | 2=1 0 0 | 0=-1. Такое представление более наглядно показывает, какие именно группы задействованы в получении той или иной формы.

Заключение

Данная статья лишь обобщение и краткое описание уже проделанной работы. Это только первые, но уверенные шаги в этой области. Компьютеры позволяют делать сложнейшие расчеты за доли секунды, что несомненно только способствует исследованию, моделированию и развитию.

Литература

1. Круглинской Д., Уингоу С., Шеферд Дж. Программирование на Microsoft Visual C++ 6.0 для профессионалов. СПб: Питер, 2001.

2. Лекции по компьютерной графике. [Электронный ресурс] – Электрон. Текстовые дан. – Режим доступа: http://ruseti.ru/book11/ , свободный.

3. Баяковский Ю.М., Галактионов В.А. Современные проблемы компьютерной (машинной) графики [Электронный ресурс] — Электрон. текстовые дан.- Режим доступа: http://www.keldysh.ru/pages/cgraph/articles/dep20/young_cg.pdf, свободный.

4. Шубников В.Г. Анализ геометрических описаний ложных объектов на базе алгебраических уравнений высших порядков, их обработка и визуализация. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Санкт-Петербург, 2002, 112 стр

5. Крылов И.П. Виды и типы геометрических поверхностей, описываемых алгебраическими уравнениями 4-го порядка, Материалы 55 НТК СПбГУТ 27-31 января 2003

6. Крылов И. П. Формирование и передача сложных алгебраических поверхностей по телекоммуникационным каналам : Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук: 05.13.01: СПб., 2004 160 c. РГБ ОД, 61:04-5/3403

Реквизиты автора: Тарасова Татьяна Сергеевна; ¹⁾ Аспирантка, СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, ²⁾ программист, Lizatec software company, Санкт-Петербург; e-mail : ttsday@rambler.ru; моб. телефон +7(911)775-31-34.

Principles of 3D modeling with the algebraic surfaces

Tarasova Tatyana